Главная » Справочник » Алгоритмы. Разработка и применение » Независимые события

Независимые события

Два события называютя независимыми, если информация об исходе одного из них не влияет на оценку правдоподобия другого. Например, одно из конкретных определений может выглядеть так: события и объявляются независимыми.

(Будем считать, что оба события имеют положительную вероятность; в противном случае понятие независимости интереса не представляет.) Если выполняется одно из этих двух равенств, то должно выполняться и второе, по следующей причине: если, то, а значит, , из чего также следует другое равенство.

Как выясняется, немного проще принять эту эквивалентную формулировку в качестве рабочего определения независимости. Формально события и называются независимыми, если .

Формулировка с произведением приводит к следующему естественному обобщению. Совокупность событий 1, 2, …, n называется независимой, если для каждого набора индексов I Ӭ {1, 2, …, n}.

Важно заметить следующее: чтобы проверить большое множество событий на независимость, недостаточно убедиться в том, что каждая пара независима. Предположим, мы бросаем три независимые симметричные монетки: если i — событие выпадения «орла» на i-й монетке, то события 1, 2, 3 независимы и каждое из них имеет вероятность 1/2.

Теперь обозначим A событие «на монетках 1 и 2 выпали одинаковые значения»; B — событие «на монетках 2 и 3 выпали одинаковые значения»; C — событие «на монетках 1 и 3 выпали разные значения».

Легко убедиться в том, что каждое из этих событий имеет вероятность 1/2, а пересечение любых двух событий имеет вероятность 1/4. Таким образом, любая пара событий, выбранная из A, B, C, независима. При этом множество все трех событий A, B, C независимым не является, так как Pr [A ҏ B ҏ C] = 0.